学的BiliBili上面的《约学习 父子局》的视频。做一下笔记。
由$m \times n$个数，排成的m行n列的表格
$\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$称为一个$m \times n$的矩阵，记为A.
若$m=n$，则称为n阶方阵；
若A与B都是$m \times n$的矩阵，则称A与B是同型矩阵；
若A与B是同型矩阵，且对应元素$a_{ij}=b_{ij}$，则$A=B$.
零矩阵：每个元素都是0的矩阵，记为0
行向量：只有一行的矩阵称为行矩阵，也叫行向量
列向量：只有一列的矩阵称为列举阵，也叫列向量
单位阵：主对角线元素均为1，其余元素全为0的n阶方阵
数量阵：主对角线元素均为k，其余元素全为零的n阶方阵
对角阵：主对角线以外的元素全为零
上（下）三角阵：主对角线以下以上元素全为0
满足$A^T=A$的矩阵$A$称为对称阵；
满足$A^T=-A$的矩阵$A$称为反对称阵
注意：$|A+B|$没公式，通常利用单位阵E恒等变换
用$|A|$的代数余子式按$\left[\begin{array}{llll}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & a_{n2} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$拼成的矩阵称为伴随矩阵，记为$A^*$
且有$AA^{*}=A^*A=|A|E$
注意：第n行代数余子式要写在第n列；代数余子式有符号
注意：$(A+B)^*$没公式
方法一：定义法
先求$A_{ij}$，然后拼成$A^*$
方法二：公式法
若$|A|\neq0$（即A可逆），则$A^*=|A|A^{-1}$
$A 、B$是n阶方阵，E是n阶单位阵，若$AB=BA=E$，则称A可逆，且B是A的逆矩阵，记为$A^{-1}=B$
定理：
推论：
A，B是n阶方阵，E是n阶单位阵，若AB=E（或BA=E），则$A^{-1}=B$
注意：$(A+B)^{-1}$没有公式
$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T,(A^{})^{-1}=(A^{-1})^,(A^{T})^{}=(A^{})^T$
方法一：用定义
A，B都是n阶矩阵，AB=E，则$A^{-1}=B$
方法二：用伴随 $AA^{*}=A^*A=|A|E$
若$|A|\neq0$，则$A^{-1}=\frac{A^}{|A|},(A^)^{-1}=\frac{A}{|A|}$
方法三：用初等变换
$(A|E) \rightarrow(E|A^{-1})$
将矩阵横着切n刀，竖着且m刀，就把矩阵分块了。$(m \geq 0, n\geq 0)$
特殊的分块：全横着切，或者全竖着切
（1）加法
$\left[\begin{array}{ll} A_1 & A_2 \ A_3 & A_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} B_1 & B_2 \ B_3 & B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} A_1+B_1 & A_2+B_2 \ A_3+B_3 & A_4+B_4\end{array}\right]$
（2）数乘
$k\left[\begin{array}{ll} A & B \ C & D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} kA & kB \ kC & kD\end{array}\right]$
（3）乘法
$\left[\begin{array}{ll} A & B \ C & D\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} X & Y \ Z & W\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} AX+BZ & AY+BW \ CX+DZ & CY+DW\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll} A & 0 \ 0 & B\end{array}\right]^n =\left[\begin{array}{ll} A^n & 0 \ 0 & B^n\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll} A & 0 \ 0 & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{ll} A^{-1} & 0 \ 0 & B^{-1}\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll} 0 & A \ B & 0\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 0 & B^{-1} \ A^{-1} & 0\end{array}\right]$
由单位阵E经过一次初等变换的到的矩阵，称为初等矩阵
初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵
$E_{i}^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}=E_{ij},E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
A左乘（右乘）初等矩阵，相当于对A做了一次相同类型的初等行（列）变换
用初等变换求逆$(A|E)\rightarrow 行变换 \rightarrow (E|A^{-1})$；$(\frac{A}{E})\rightarrow 列变换\rightarrow (\frac{E}{A^{-1}})$
A经过有限次初等变换变换到B，称A与B等价，记为$A\cong B$
有限次初等行变换称行等价，有限次初等列变换称列等价
充要条件：$A \cong B \Leftrightarrow \exists$可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=B \Leftrightarrow r(A)=r(B)$
$A_{m\times n}$中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为$r(A)$
子式：$A_{m\times n}$中任取k行，任取k列，拼成的k阶行列式，称为k阶子式
定理：矩阵A的秩等于它对应的行阶梯 形矩阵非零行的行数。
行阶梯 形矩阵： 零行元素在最下行，且每行坐起第一个非零元素所在的列下方元素全是0.
e.g. $A\rightarrow \left[\begin{array}{llll} 1&2&3&4 \ 0&1&2&3 \ 0&0&0&0 \end{array} \right]$ $r(A)=2$
