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线性方程组

2020-04-19

Linear Algebra Knowledge points Equation Set 5 mins1.2k words

学的BiliBili上面的《约学习父子局》的视频。做一下笔记。

齐次线性方程组

齐次线性方程组的三种表示方式

$\left{\begin{array}{c} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1 n} x_n = 0 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2 n} x_n = 0 \ \cdots \cdots \ a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \cdots + a_{m n} x_n = 0 \end{array}\right.$ m 个方程， n 个未知数
$A_{m×n}x=0, A=\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array}\right] x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$
$x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=0 \alpha_i=\left(\alpha_{1 i}, \alpha_{2 i}, \cdots, \alpha_{n i}\right)$

有解条件

$A_{m×n}x=0$只有零解$\Leftrightarrow(A_{m×n})=n$，n未知数个数，A的列数
$A_{m×n}x=0$有非零解$\Leftrightarrow(A_{m×n}) < n$
特别地，若$m<n$（方程少未知数多），则$A_{m×n}x=0$有非零解
若$A_{m×n}x=0$有非零解，则其线性无关地解有$n−r(A)$个

解的性质

若$\xi_1,\xi_2,⋯,\xi_t$都是$Ax=0$的解，则$k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_t \xi_t$仍是$Ax=0$的解

基础解系

$Ax=0$的基础解系

$\xi_1,\xi_2,⋯,\xi_t$是$Ax=0$的解
$\xi_1,\xi_2,⋯,\xi_t$线性无关
$\xi_1,\xi_2,⋯,\xi_t$可以表示$Ax=0$的任一解或$n−r(A)=t$

称$\xi_1,\xi_2,⋯,\xi_t$是$Ax=0$的基础解系

解题方法

转换行阶梯型
求基础解系解的数量
取自由变量
自下向上解方程

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的三种表示方式

$\left{ \begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \ \cdots \cdots \ a_{m 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right. $
$A_{m×n}x=0(A|b)= \left[\begin{array}{cccccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} & | & b_2 \ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & | & \ldots \ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} & | & b_m\end{array}\right] \space x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$
$x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=0 \alpha_i=\left(\alpha_{1 i}, \alpha_{2 i}, \cdots, \alpha_{n i}\right)$

有解的条件

$A_{m×n}x=b$无解$\Leftrightarrow r(A) \neq r(A|b)$
$A_{m×n}x=b$有唯一解$\Leftrightarrow r(A) < r(A|b) = n$，n未知数个数，A的列数
若$A_{m×n}x=b$有无穷多解$\Leftrightarrow r(A) = r(A|b) < n$

解的性质

设$\eta_1, \eta_2, \eta$,是$A_{m×n}x=b$的解，$\xi$是$A_{m×n}x=0$的解，则

$\eta_1 − \eta_2$是$A_{m×n}x=0$的解
$\eta + \xi$是$A_{m×n}x=b$的解

解的结构

$A_{m×n}x=b$, 当$r(A)=r(A|b)=r<n$有无穷多解

通解：$\alpha+k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_n \xi_n$本身特解+齐次的通解

解题方法

非抽象

增广矩阵进行行阶梯变换
求出秩判断解的个数
取自由变量赋值，由下向上求解（齐次）
找出本身的特解（自由变量可以都取0）

抽象

求齐次通解的个数
用减的方式求齐次通解
用除或减的方式求非齐次特解

克拉默法则

n个方程n个未知数的方程组$Ax=b$

$\left{ \begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \ \cdots \cdots \cdots \ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

的系数矩阵的行列式$|A|\neq 0$，则方程组有唯一解，且$x_i = \frac{|A_i|}{|A|},i = 1, 2, \cdots, n$.

其中$|Ai|$是$|A|$中第i列元素替换为$(b_1 \space b_2 \space \cdots \space b_n)^T$

**推论：**对n个方程n个未知数的齐次方程组$Ax=0$，若$|A|\neq 0$，则齐次方程组只有0解；若齐次方程组有非零解，则$|A| = 0$

公共解，同解

公共解

若$\alpha$是$Ax=0$=0的解，也是$Bx=0$的解，称$\alpha$是$Ax=0$与$Bx=0$公共解

解体方法

$Ax=0 \space Bx=0$均具体给出

做法：求公共解$\alpha$，联立$(A B)x=0$的解
$Ax=0$具体给出，$Bx=0$基础解系$\beta_1,\beta_2$

做法：将通解$l_1β_1+l_2β_2$代入$Ax=0$中，定出$l_1,l_2$的关系
$Ax=0$基础解系$α_1,α_2$，$Bx=0$基础解系$\beta_1,\beta_2$

做法：$k_1α_1+k_2α_2=l_1β_1+l_2β_2=α$ 转为$k_1,k_2,l_1,l_2$为未知数的方程，找出$k_1,k_2$或者$l_1,l_2$的关系